Составить уравнения общих касательных двух эллипсов
10-11 класс
|
и .
Из сказанного выше в комментарие
рассмотрим систему:
1)x^2/6+y^2=1
y=kx+b
x^2/6+ (kx+b)^2=1
x^2+6k^2x^2+12kxb+6b^2-6=0
(1+6k^2)*x^2+12kxb+6b^2-6=0
Линейный случай отсекается 1+6k^2>0
D/4=36k^2*b^2-(1+6k^2)(6b^2-6)=0
2) x^2/4+y^2/9=1
x^2/4+(kx+b)^2/9=1
9x^2+4k^2x^2+8kxb+4b^2-36=0
(9+4k^2)+8kxb+4b^2-36=0
9+4kx^2>0
D/4= 16k^2b^2-(9+4k^2)(4b^2-36)=0
Раскрывая скобки в каждом уравнении получим.
36k^2*b^2-6b^2+6-36k^2b^2+36k^2=0
6k^2-b^2+1=0
и 2 уравнение:
16k^2b^2-36b^2+324-16k^2b^2+144k^2=0
4k^2-b^2+9=0
То выходит линейная система
6k^2-b^2=-1
4k^2-b^2=-9
Вычтем:
2k^2=8
k^2=4 k=+-2
b^2=25 b=+-5
То уравнения общих касательных будут принимать вид:
y=2x+5
y=2x-5
y=-2x+5
y=-2x-5
Уравнение касательной в точке (x1, y1) к эллипсу (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1;
x*x1/a^2 + y*y1/b^2 = 1;
Вывести его проще простого - дифференциал в точке (x1, y1) равен 0, заменяется dx = x - x1; dy = y - y1; получается (x1/a^2)*(x - x1) + (y1/b^2)*(y - y1) = 0; откуда сразу получается нужное уравнение.
Касательная в точке (x2, y2) на втором эллипсе (x/с)^2 + (y/d)^2 = 1;
x*x2/c^2 + y*y2/d^2 = 1;
Эти две прямые должны совпадать. То есть x2/c^2 = x1/a^2; y2/d^2 = y1/b^2;
если переписать уравнения эллипсов так
a^2*(x1/a^2)^2 + b^2*(y1/b^2)^2 = 1;
c^2*(x2/c^2)^2 + d^2*(y2/d^2)^2 = 1;
и обозначить u = (x1/a^2)^2 = (x2/c^2)^2; v = (y1/b^2)^2 = (y2/d^2)^2;
то получается просто линейная система 2х2;
a^2*u + b^2*v = 1;
c^2*u + b^2*v = 1;
У этой системы единственное решение (если есть, конечно, и не просто есть, а должно быть положительно определено, то есть u > 0; v > 0). Уравнения всех ЧЕТЫРЕХ общих касательных получаются потом перебором знаков перед корнями. То есть уравнения касательных будут +-x*√u +- y*√v = 1;
Вот вся теория. Как это выглядит для этой задачки.
a^2 = 6; b^2 = 1; c^2 = 4; d^2 = 9;
6*u + v = 1;
4*u + 9*v = 1;
u = 4/25; √u = 2/5; v = 1/25; √v = 1/5;
+-x*2 +- y = 5; вроде так. (ну, в смысле, 2x + y = 5; 2x - y = 5; -2x + y = 5; -2x - y = 5; ясно, что эти прямые образуют ромб).
Решение не получилось бы, если бы эллипсы не пересекались.
У вас кондовато вышло. Есть альтернативное решение. Если чуть вступится к геометрии :)
большое спасибо. это тривиальное упражнение на теорию кривых 2 порядка. вроде таблицы интегралов. тут нужна не аналитическая, а систематическая функция мозга. то есть надо разобраться в простенькой теории и быстренько (в 1 действие) применить его. прочтите мое решение, и вы увидите, что РЕШЕНИЕ занимает 3 строчки. с определением касательной никто спорить не собирается. ясно, что весь эллипс лежит с одной стороны любой касательной к нему.
Все слова написанные в комментариях. Это исключительно для автора задания. Если конечно автор понимает о чем идет речь :)
Другие вопросы из категории
Читайте также
равна 10, а расстояние между фокусами равно 8. Найти эксцентриситет, координаты фокусов и уравнения директрис получившегося эллипса.
Основания равнобедренной трапеции служат диаметрами двух окружностей, касающихся внешним образом. площадь трапеции равна 100. При этом отрезок их общей касательной, заключённый между боковыми сторонами трапеции равен 8. Найдите большее основание трапеции. Ответ известен (10+2√5)
помогите пожалуйста