Во вписанном четырехугольнике KLMN стороны LM и MN равны. Окружность Z с центром M касается отрезка LN. Точка O – центр вписанной окружности треугольника
10-11 класс
|
KLN. Докажите, что прямая, проходящая через O параллельно KL, касается Z.
Да очень красивое задание.
Треугольник MLN-равнобедренный,откуда ΔMLN=ΔMNL.
Поскольку 4 угольник KLMN-вписан в окружность,то углы опирающиеся на равные дуги равны: ΔMLN=ΔMKN=ΔMNL=ΔMKL=a. Откуда KM-биссектриса ΔLKN.
И наконец самое главное: раз центр вписанной окружности лежит на точке пересечения его биссектрис,то очевидно , что центр вписанной в треугольник KLN окружности лежит на биссектрисе KM. (Значит KM проходит через центр вписанной окружности).
И вот мы подобрались к истинному чуду этой задачи: проведем через центр вторую биссектрису LO. (Центр лежит и на биссектрисе ΔNLK соответственно).
Обозначим разбитые ей углы по b. Из суммы углов треугольника верно что :ΔLOK=180-(a+b) ,также ΔLOK смежный угол с ΔLOM.
Значит : ΔLOM=180-(180-(a+b))=a+b,но вот еще одна неожиданность:
ΔMLO=ΔMLN+ΔNLO=a+b. Опа ΔMLO=ΔLOM, то треугольник MLO-равнобедренный. ML=MO.
И вот второе чудо этой задачи:
Проведем перпендикуляр MT на LN и перпендикуляр MT1 на прямую q ||LK. ΔT1OM=ΔLKM=a ,как соответственные углы при параллельных
прямых q и LK. (Там не подписал угол a ,но суть ясна надеюсь).
И вот оно: треугольники MT1O и MTL равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Действительно: ΔT1OM=ΔMLT=a.
Поскольку у этих двух треугольников есть по равному прямому углу. То из соображений суммы углов треугольника: ΔT1MO=ΔLMT и равны стороны : ML=MO ,откуда следует вышесказанное утверждение.
Тогда: MT=MT1,то есть если окружности Z касается прямой LN соответственно в точке T (Тк радиус перпендикулярен касательной). То выходит что MT=MT1=R.
А значит радиус окружности Z перпендикулярен прямой q . И T1 принадлежит окружности Z. То есть q-касательная к окружности Z :)
ЧТД.
хм, видите ли какое дело, я бы вам показала примерный мой чертеж, но не знаю правильно ли
М это центр окружности Z, по условию)касается отрезка LN, значит на окружности лежат только 2 угла вписанного четырехугольника L и N
А сорри я неверно понял условие.
может быть)но я не знаю, как это доказать
Это очень интересная задача :)
Другие вопросы из категории
9π. Найдите площадь поверхности шара. С рисунком пожалуйста!! ответ:20π
Читайте также
соединяющего середину сторон KL и MN.
равна 24. Прямые KL и MN пересекаются в точке А. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АLM.
если стороны KN и MN квадрата KLMN пересекают эту плоскость?
1) Площадь половины окружности равна 16П. Найти радиус этой окружности
2) В 4ех угольнике ABCD AC=BD, P,M,K,N - середины сторон, PK=6 MN=4 Найти площадь четырехугольника ABCD
3) Внешний угол при вершине равнобедренного треугольника равен 110. Найти угол при основании этого треугольника
4) В окружности с центром О проведены 2 хорды KP и PM. Найти угол KPM, если угол KOM равен 120 градусам.
5) Радиус окружности вписанный в правильный шестиугольник A1A2....A6 равен 2^3 (два корня из трех), найти длину диагонали А1А3. Буду оч рад, если поможете :)
параллелограммом ! 2) Докажите, что четырехугольник, противоположные стороны которого попарно равны ,являются параллелограммом 3) Докажите, что четырехугольник, у которого сумма углов , ,прилежащий к любой стороне , рана 180 градусов,является параллелограммом !