В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 4, а боковые ребра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды

+ 0 -

Wettallla

10 апр. 2015 г., 11:12:33 (9 лет назад)

В условии не хватает слов "параллельно АС". В противном случае задача не имеет решения (точнее одного решения, сами по себе решения есть, но - не интересные :) одно из них - треугольник MBD).

Пусть b=8; a = 4; О - центр основания, МО - высота пирамиды, сечение пересекает MD в точке Q (MQ = QD), МС в точке Р, MA - в точке G, МО в точке К. Надо найти площадь четырехугольника BGQP. 

Плоскость сечения II АС, поэтому GP II AC, откуда MG/GA = МК/КО = MP/PC = 2/1; поскольку BQ и MO - медианы, и К - точка пересечения медиан треугольника MBD.

то есть 

GP = (2/3)*AC = a*2√2/3; (из подобия треугольников AMC и GMP)

И еще, поскольку у квадрата диагонали перпендикулярны, AC перпендикулярно плоскости треугольника MDB, откуда следует, что GP перпендикулярно BQ, то есть площадь S четырехугольника BGQP равна S = BQ*GP/2;

Остается найти медиану m = BQ равнобедренно треугольника MDB с боковыми сторонами MD = MB = b = 8; и основанием BD = a√2; (a = 4);

(2*m)^2 = 2(a√2)^2 + b^2;

m = (1/2)*√(4*a^2 + b^2);

S = (1/2)*(a*2√2/3)*(1/2)*√(4*a^2 + b^2) = (1/6)*a*√(8*a^2 + 2*b^2);

ну и надо подставить числа.

если b = 2*a, то S = (2/3)*a^2 = 32/3;

мне удалили решение этой типовой задачи, мотивируя тем, что это - задача из ЕГЭ. Но ЕГЭ уже прошел, так что поздно удалять-то :) да и смешно это - условие немного варьируется, так что ситуация ничем не отличается от стандартной, когда ученик знает метод решения и применяет его. Ну, и - это важно - я всегда прячу пару недоговоренностей, которые элементарны для того, кто понимает, но непроходимы для того, кто просто списывает. Хочу, чтобы все имели ввиду :))) Вот в этой задаче надо обосновать перпендикулярность диагоналей. Тот, кто просто спишет, получит незачет :)))