В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 1,а боковые ребра 2. Точка N принадлежит ребру MC,причем MN:NC=2:1.

+ 0 -

Zara2501

26 дек. 2014 г., 3:30:34 (9 лет назад)

чтобы построить сечение, нужно из N провести прямую || AC

(B лежит в одной плоскости с АС)

точки N,A,C объединяет треугольник AMC

построим NP || AC в треугольнике AMC... NC=AP

BNP ---искомая плоскость... BN=BP

осталось построить пересечение с MD

т.к. треугольники NBP, MAC равнобедренные, то их высоты пересекутся в точке О

продолжим прямую BO до пересечения с MD ---точка Е четвертая вершина сечения...

NE=EP, сечение BNEP ---два равнобедренных треугольника с общим основанием...

Sсечения = S(BNP) + S(NEP) = NP*OB/2 + NP*OE/2 = (NP/2)*(OB+OE) = BE*NP/2

рассмотрим треугольник MAC, т.к. NP || AC, MAC и MNP подобны

MN / MC = 2/3 = NP / AC = MO / MH

AC ---диагональ квадрата, по т.Пифагора АС = V2 => NP = АС*2/3 = 2*V2 / 3

MH^2 = 4 - (V2/2)^2 = 4-1/2 = 7/2

MH = V14 / 2

OH = MH/3 = V14 / 6

BO^2 = OH^2 + BH^2 = 14/36 + 1/2 = 8/9

BO = 2V2 / 3

sin(OBH) = OH/OB = (V14 *3) / (6*2V2) = V7 / 4 =>

cos(OBH) = корень(1-(sin(OBH))^2) = корень(1-7/16) = 3/4

sin(MDH) = MH/MD = V14 / 4 =>

cos(MDH) = корень(1-(sin(MDH))^2) = корень(1-14/16) = V2 / 4

sin(BED) = sin(180-(OBH+MDH) = sin(OBH+MDH) =

sin(OBH)*cos(MDH) + cos(OBH)*sin(MDH) = V14 / 16 + 3V14 /16 = V14 / 4

по т.синусов BE / sin(MDH) = BD / sin(BED) и т.к. sin(MDH) = V14 / 4 = sin(BED), то 

BE=BD=V2

Sсечения = V2*2*V2 / 6 = 4/6 = 2/3

(надеюсь, я нигде не ошиблась...)