В треугольнике abc известно, что AB=c, AC=b (b>c), AD = биссектриса. Через точку D проведена прямая, перпендикулярная AD и пересекающая AC в точке E.

+ 0 -

Lord123lord123

23 февр. 2014 г., 11:56:08 (10 лет назад)

Такое изящное решение :)
Из точки А выходят три луча - AD и два симметричных (то есть образующих с лучом AD равные углы) AC и AB. На луче АС, помимо точки E, такой, что ED перпендикулярно AD, надо отметить точку B1, так, что AB1 = AB; точно так же можно на продолжении луча AB отметить точки E1 и C1, симметричные точка Е и С относительно AD. Ясно, что отрезок B1C1, проходящий через точку D, симметричен отрезку BC, и угол CDE = угол E1DB = угол EDB1; то есть в треугольнике B1DC DE - биссектриса, и CE/EB1 = CD/DB1; но DB1 = DB, и CD/DB = b/c; 
Если для простоты записи теперь обозначить СЕ = z; EB1 = y; AE = x; то
x + z = b;
x - y = c;
z/y = b/c;
Собственно, все уже решено. Осталось последовательно исключить сначала z, потом y, и останется выражение для x, который и надо найти.
z = y*b/c;
y = x - c;
x + b*(x - c)/c = b; 
x = 2*b*c/(b + c);