В треугольнике ABC сторона AB=4. Окружность, радиус которой равен 41/9, проходит через вершину C, середины сторон CA и CB, а также через точку пересечения
10-11 класс
|
медиан треугольника ABC. Вычислить площадь этого треугольника
Я постарался нарисовать максимально близко к условию.
Окружность проходит через точку G на медиане CC1, 2*C1G = CG; и через концы средней линии MN. Так как точка C2 (пересечения MN и CC1) лежит посредине CC1, то GC2 = CG - CC2 = CC1*(2/3) - CC1*(1/2) = CC1/6 = CC2/3;
Если обозначить GC2 = q; то CC2 = 3*q;
Пусть также MC2 = NC2 = m; (по условию m = 1); R - радиус окружности, R = 41/9;
CP = y; C2P = x; C2O = d; по смыслу y = h/2; h - высота треугольника ABC;
1) по свойству пересекающихся хорд MC2*NC2 = CC2*GC2; или m^2 = 3*q^2;
2) OC^2 = C2P^2 + (C2O - CP)^2; или R^2 = x^2 + (d - y)^2;
3) C2N^2 + C2O^2 = ON^2; или R^2 = d^2 + m^2;
4) C2C^2 = C2P^2 + CP^2; или q^2 = x^2 + y^2; откуда 3*m^2 = x^2 + y^2;
Из 2) получается R^2 - d^2 = x^2 + y^2 - 2*d*y; или, с учетом 3) и 4)
m^2 = 3*m^2 - 2*y*d;
То есть y*d = m^2;
Дальше уже нет смысла "тащить" формулы в общем виде. Из 2) легко найти d = 40/9; (тут Пифагорова тройка 9,40,41), и получается y = 9/40; h = 9/20;
Площадь ABC S = 4*(9/20)/2 = 9/10;
Другие вопросы из категории
Читайте также
2) Треугольник abc прямоугольный, ab=12, sin b=1/3. Найти ac
3)Треугольник abc прямоугольный, ac=12, tg b=1/6. Найти BC
Найдите периметр треугольника, если две его стороны равны 20 см и 30 см, а биссектриса угла между ними делит третью сторону на отрезки, меньший из которых равен 10 см.
Благодарю заранее!
проходящая через точку k, пересекает стороны угла в точках b и c. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника abc
градусам. Расстояние то точки N до прямой AB равно 10. Найдите площадь треугольника ABC, если длины MN и AB отличаются в 4 раза.
серединные перпендикуляры к сторонам ac и cb пересекаются в точке m. найдите расстояние от точки m до середины стороны ab.
2) высота ad и ce остроугольного треугольника abc пересекаются в точке o, oa=4см, od=3см, bd=4см. Найдите площадь треугольника abc.
Пожалуйста помогите