Гипотенуза прямоугольного треугольника равна (корень из 2). Найдите углы треугольника, зная, что наименьшее возможное значение суммы расстояния от

+ 0 -

Lizaborisova2

11 сент. 2013 г., 11:15:56 (10 лет назад)

На координатной плоскости есть окружность радиусом √2/2, с центром в начале координат. На отрезке, диаметре этой окружности, с концами А (0, √2/2) и В (0,-√2/2) построен равносторонний треугольник АВС1.

Его третья вершина лежит в точке С1 (√6/2,0).

Окружность с центром в этой точке и радиусом √7, (если есть решение) пересекает первую окружность в двух точках, симметричных относительно оси X. Координаты точки С в верхней полуплоскости (то есть y>0) находятся так.

x^2 + y^2 = 1/2;

(x - √6/2)^2 + y^2 = 7;

Так вот, у этой системы НЕТ решения, потому что 

√6/2 + √2/2 < √7;

То есть эти окружности не пересекаются.

Поэтому при любом угле треугольника сумма расстояний от вершин до точки Ферма (то есть наименьшее возможное значение этой суммы) будет МЕНЬШЕ √7. 

Не похоже, что я где то ошибся, но все может быть, проверьте.

Теорию точки Ферма (она же точка Торичелли) в треугольниках я тут излагать не стану. Достаточно понимать, что для прямоугольного треугольника она СУЩЕСТВУЕТ и лежит внутри треугольника. 

Расстояние от вершины С, лежащей на окружности  x^2 + y^2 = 1/2, до точки С1 ОБЯЗАТЕЛЬНО должно равняться заданному в задаче √7.

(Может, в условии другое число, например, гипотенуза √3, или нвр = √5)

Кстати, для прямоугольного треугольника довольно легко из теоремы косинусов получить соотношение

m^2 = c^2*(1 + (√3/2)*sin(2*Ф))

где Ф - острый угол треугольника, с - гипотенуза, m - минимальная сумма расстояний от внутренней точки до вершин треугольника.

Отсюда сразу видно, что при (m/c)^2 = 7/2; sin(2*Ф) >1; чего быть не может.

Отношение (m/c)^2 максимально равно 1 + √3/2 при Ф = 45 градусов, это примерно 1,866, что почти в два раза меньше, чем 7/2