номер 1 Отрезок ВД диаметр окружности с центром О. Хорда АС делит пополам радиус ОВ и перпендикулярна к нему. Найдите углы четырехугольника АВСД и

+ 0 -

Natulyaut1

06 февр. 2015 г., 18:42:15 (9 лет назад)

1)Для начал сами углы  этого четырехугольника 

Обозначим  точку пересечения как О1, тогда  если обозначит   ВО1=х  следует что О1Д=3х

так как радиус равен R=D/2

При пересечении двух хорд окружности, получаются отрезки, произведение которых у одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Тогда x*3x=y/2*y/2

 3x^2=y^2/4

 y=V12x где V-кв корень

y/2=V12*x/2

значит получим равнобедренный треугольник  АСД рассмотрим его ,  по теореме Пифагора  найдем  АД=V9x^2+12x^2/4=V48x^2/4=4xV3/2=2xV3

теперь по теореме косинусов найдем  сам угол АДС ,

AC^2=AD^2+DC^2-2*AD*DC*cosa

12x^2=12x^2*2-2*12x^2*cosa

12x^2-24x^2 = -24x^2*cosa

-12x^2/-24x^2=cosa

cos=1/2

a=60гр  то есть угол АДС равен 60 гр

теперь другие

ABC угол  равен 

12x^2=8x^2-8x^2*cosa

-4x^2/8x^2=cosa

cosa=-1/2 

a=120гр 

ABC = AOC = 120 (Ромб)

Потому что вписанный угол в 2 раза меньше центрального на той же хорде AC.
BAD = BCD = 90, потому что они опираются на диаметр.

И окончательно ответ  

Градусные меры дуг
AB = BC = 60
CD = AD = 120

2)

 найдем сначала стороны по Пифагору 

24/2=12

12^2+9^2=15^2

теперь угол

15^2=15^2+24^2-2*15*24*cosa

sina=3/5

По теореме синусов 

15/3/5=2R

R=12.5

теперь вписанную

по формуле r=b/2*V(2a-b )/ (2a+b)    =    12V(30-24)/(30+24))    =12V6/54=12*1/3=4см 

Ответ R=12.5  r=4см