Хей, почему в теореме о сумме углов выпуклого многоугольника получается n-2 треугольников?!

+ 0 -

1бусинка1

28 июля 2013 г., 3:34:26 (10 лет назад)

Если "сесть" в одну - произвольно выбранную - вершину выпуклого N - угольника, и провести все диагонали из этой вершины, то их будет ровно N-3 - по числу "несоседних" вершин. Одна вершина - это та, на которой я "сижу", и две - соседние - на концах сторон, выходящих из этой вершины, все остальные N-3 вершины можно соединить с "нашей" вершиной, проведя диагональ. Например, в четырехугольнике 4 вершины, и из каждой вершины можно провести 4 - 3 = 1 диагональ. 

При этом получается ровно N - 2 треугольника (для четырехугольника 1 диагональ делит его на 2 треугольника, для пятиугольника 2 диагонали делят его на 3 треугольника, и так далее)  

Если это не понятно, можно поступить так- пронумеруем вершины по часовой стрелке, обозначив "нашу" вершину (то есть ту, в которой мы "сидим") номером 1. Первая диагональ соединит вершины 1 и 3, вторая 1 и 4, последняя возможная диагональ (N - 3тья, всего диагоналей N - 3) соединит  вершины 1 и N - 1. Каждая следующая диагональ добавляет 1 треугольник, и когда мы провели последнюю, получив N - 3 треугольника, остался еще одни треугольник с вершинами с номерами 1, N - 1, N. То есть всего N - 2 треугольника.

Ясно, что сумма углов этих треугольников равна сумме углов N - угольника. То есть 180*(N - 2). Для 4 угольника это 360, для пятиугольника 540, и так далее. 

+ 0 -

Sevanos11ff

28 июля 2013 г., 5:11:31 (10 лет назад)

Надо думать, что Вы поняли, почему сумма углов многоугольника равна сумме углов треугольников, на которые его можно разделить. А почему треугольников получается на 2 меньше, чем сторон многоугольника? Смотрите рисунок.