В правильном тетраэдре точка Е - пересечение медиан треугольника bcd. Найдите косинус угла между ab и плоскостью abc и косинус угла между ae и плоскостью

+ 0 -

пролетарская55

02 окт. 2013 г., 19:30:04 (10 лет назад)

Между ab и abc угол равен 0 (ab лежит в плоскости abc). Вот найти угол (обозначу его Ф) между ae и abc - это интересная задача.

Я бы не стал решать эту задачу, если бы у неё не было совершенно фантастической красоты МЕТОДА решения. Так-то её технически ничего не стоит сделать.

Я специально поменяю обозначения. Обычно это признак неквалифицированного подхода, но в данном случае это диктуется методом решения. 

Если автору не понравится способ решения - обратитесь к модератору, он это удалит :))))

Итак. Берется КУБ abcda1b1c1d1. Трехмерная фигура с вершинами a1bc1d - тетраэдр (это треугольная пирамида, у которой все грани - равносторонние треугольники).

Поскольку (например) фигура cc1bd - тоже правильная пирамида (хотя и не тетраэдр), то вершина с проектируется на плоскость bdc1 в центр равностороннего треугольника bdc1. Точно так же - в ту же точку - проектируется на плоскость bdc1 и вершина a1 тетраэдра. Получается, что и а1 и с лежат на ОДНОЙ прямой, перпендикулярной bdc1. То есть БОЛЬШАЯ ДИАГОНАЛЬ a1c КУБА abcda1b1c1d1 перпендикулярна плоскости треугольника bdc1 и пересекает её в центре этого треугольника. 

Само собой, все остальные большие диагонали куба тоже перпендикулряны граням тетраэдра a1bc1d, и тоже проходят через центры граней. 

Поэтому :)

Углу Ф соответствует угол между ДИАГОНАЛЬЮ КУБА bd1 и плоскостью bdc1.

Поскольку все диагонали пересекаются в центре куба "о", то искомый угол равен

Ф = 90°