Расстояние от точки A и B до плоскости равны 13 и 17. Найти расстояние от середины отрезка AB до плоскости1) Если точки A и B лежат по одну сторону

+ 0 -

Luda090

06 нояб. 2014 г., 4:15:46 (9 лет назад)

1) Если соединить точки А и В и потом опустить перпендикуляры к плоскости (а именно перпендикуляр к плоскости является кратчайшим расстоянием от точки до плоскости), и точки пересечения с плоскостью этих перпендикуляров обозначить как А1 и В1 соответственно, то образуется прямоугольная трапеция АВВ1А1 (поскольку АА1 и ВВ1 перпендикулярны плоскости, то они параллельны друг другу и тоже образуют плоскость. Отрезок А1В1 перпендикулярен сторонам АА1 и ВВ1). Если опустить на плоскость в точку О1 перпендикуляр от середины в точке О отрезка АВ, то он будет также параллельным АА1 и ВВ1 и будет являться средней линией трапеции АВВ1А1. Известно, что длина средней линии трапеции равна половине суммы оснований, то есть ОО1=(АА1+ВВ1)/2=(13+17)/2=30/2=15 - расстояние от середины АВ до плоскости в случае, если А и В лежат по одну сторону плоскости.
2) если А и В лежат по разные стороны плоскости. Кратчайшее расстояние от А до плоскости равно 13 и определяется перпендикуляром длиной 13, опущенным из точки А на плоскост в точку, которую можно обозначить точкой А1. Это же рассуждение справедливо и для точки В, но при этом длина перпендикуляра ВВ1 равна 17. Если соединить А и В и точку пресечения этого отрезка с плоскостью обозначить О, а также соединить А и А1, В и В1, и А1 и В1= то видно, что образовались два треугольника ОАА1 и ОВВ1. Углы АОА1 и ВОВ1 равны. АА1 параллельна ВВ1. Эти прямоугольные треугольники подобны. Если найти середину Е отрезка АВ и провести параллельно А1В1 перпендикуляр к стороне ВВ1 треугольника ВОВ1 в точке С, то видео, что прямоугольные треугольники АОА1 и ВЕС равны по углам ОАА1 и ОВВ1 и сторонам АЕ и ЕВ. Следовательно, СВ1=ВВ1-АА1=17-13=4. Так как ЕС и В1А1 параллельны, то расстояние от точки Е до плоскости в точке Е1 будет так же равно 4