Точка М лежит внутри равностороннего реугольника АВС. Вычислить площадь этого треугольника, если известно, что АМ=ВМ=2см, СМ=1см.

+ 0 -

Vinenkoirina

28 авг. 2013 г., 17:12:22 (10 лет назад)

 Нарисуем равносторонний треугольник АВС. 
Так как точка М по условию находится на равном расстоянии от А и В, она должна лежать на биссектрисе угла С 
( которая для этого треугольника и медиана, и высота, хотя для решения данной задачи важна лишь биссектриса). 
Соединим точку М с вершинами А и В. 
Опустим из М перпендикуляр МН на АС. 
МН в прямоугольном треугольнике противолежит углу 30° и потому равна половине гипотенузы СМ. 
МН=1/2 
АС - сторона равностороннего треугольника - равна АН+НС  
АН найдем по т. Пифагора из треугольника АМН 
АН=√(4 -1/4)=(√15):2  
СН=СМ*cos(30°)=(√3):2
Сложим АН и СН и получим 
АС=√3(√5+1):2 
Площадь равностороннего треугольника равна квадрату его стороны, умноженному на корень из трех и деленному на 4. 
S={√3(√5+1):2}²(√3):4 
 S={3(6+2√5)(√3):16=(18√3+6√15):16= 
=(9√3+3√15):8 
Ответ:(9√3+3√15):8 ( трудно назвать ответ изящным, но он верный). 
Если извлечь корни, то
 S≈3,4 см².