В правильной пятиугольной пирамиде сторона основания равна а, двугранный угол при основании b. Каков радиус вписанного шара?
10-11 класс
|
Пусть Н - высота пирамиды. Sosn - площадь основания, Sboc - боковой, S - площадь всей поверхности, S = Socn + Sboc; V - объем, r - радиус вписанного шара.
Sboc*cosb = Socn;
S = Socn*(1 + 1/cosb);
V = Socn*H/3; Socn = 3*V/H;
S = (3*V/H)*(1 + 1/cosb);
H/(1 + 1/cosb) = 3*V/S;
Справа стоит радиус вписанного шара, потому что
V = r*S/3;
Если это не понятно - соедините мысленно центр шара с вершинами и сложите объемы всех полученных при этом пирамид с высотами, равными r, и боковыми гранями в качестве оснований.
r = H/(1 + 1/cosb);
Осталось вычислить высоту пирамиды.
Если через высоту провести плоскость перпендикулярно стороне основания, то получится прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и ее проекцией на основание. Острый угол этого треугольника равен b. Проекция апофемы равна m = (a/2)*ctg(π/n), где n = 5; (это расстояние от центра основания до стороны) при этом H = m*tgb;
r = m*tgb/(1+1/cosb) = m*sinb/(1 + cosb) = (a/2)*ctg(π/n)*sinb/(1 + cosb);
r = (a/2)*ctg(π/5)*sinb/(1 + cosb); это ответ.
Как выразить функции углов, кратных 18 градусам, в радикалах - это отдельная задача. В данном случае нет смысла ее решать - все равно угол b не задан.
Другие вопросы из категории
квадрат.
1) Выделите условие и заключение из текста задачи;
2) Опишите поиск решения задачи;
3) Запишите решение задачи с полным обоснованием действий;
4) Перечислите основные теоретические факты, знание которых необходимо для решения данной задачи.
Найдите радиус окружности, описанной около
четырехугольника АВСD. Ответ дайте в сантиметрах
Читайте также
плоскость ДВС составляет с плоскостью основания АВС угол в 30 градусов. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
2)Основанием прямого параллепипеда АВСДА1В1С1Д1 является ромб АВСД , сторона которого равна а и угол равен 60 градусам. Плоскость АД1С1 составляет с плоскостью основания угол 60 градусов.Найти
а)высоту ромба
б)высоту параллепипеда
в)площадь боковой поверхности параллепипеда
г)площадь всей поверхности параллепипеда.
прямой треугольной призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 8см и 6см.Найти боковое ребро призмы,если её боковая поверхность 120см в квадрате. 3.Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3см и 5см,угол между ними равен 60 градусов.Большая диагональ параллелепипеда равна 10см.Найти боковое ребро параллелепипеда.
в) угол Между боковой гранью и плоскостью основания; г) двугранный угол при боковом ребре пирамиды
шара.
( Решить задачу для h=3, a=60 )
2. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамидытравно а и составляет с плоскостью основания угол альфа. найдите объемы пирамиды и вписанного в пирамиду конуса ( мжно решать: для а=2, альфа 60 градусов