Дан треугольник со сторонами 13,14,15. Окружность с центром на большей стороне касется двух меньших сторон треугольника . Найдите: а)радиус окруж
5-9 класс
|
ности
б) длины отрезков,на которые центр окружности делит большую сторону треугольника.
Я про такой треугольник много уже написал тут. Ну, можно еще.
Но сначала решение "для учителя".
Центр окружности лежит на стороне 15 и равноудален от других сторон, то есть он совпадает с концом биссектрисы угла напротив стороны 15. Поэтому он делит сторону 15 в отношении 13/14. Длины этих отрезков 15*13/(13+14) = 65/9 и 15*14/(13 + 14) = 70/9;
Площади треугольников, на которые делит треугольник биссектриса, равны 13*R/2 и 14*R/2, поскольку радиус окружности R играет в каждом из них роль высоты к известной стороне. Сумма их равна S = 27*R/2;
Площадь треугольника S считается по формуле Герона.
Полупериметр p = (13 + 14 + 15)/2 = 21;
p - 13 = 8; p - 14 = 7; p - 15 = 6;
S^2 = 21*8*7*6 = (7*3*4)^2; S = 7*3*4 = 84;
Получилось
27*R/2 = 84; R = 56/9;
Теперь вот что. Часто можно найти площадь треугольника, если заметить, что его длины сторон выражены целыми числами, присутствующими в Пифагоровых тройках. Или - что несколько сложнее - пропорциональны им. В данном случае присутствие чисел 13 (из тройки 5,12,13) и 15 (из "египетской" тройки 9, 12, 15, кратной 3,4,5) наводит на мысль, что треугольник составлен из двух Пифагоровых. Это действительно так - достаточно приставить друг к другу такие треугольники одинаковыми катетами 12, так, чтобы катеты 5 и 9 вместе образовали бы сторону 14.
Это означает, что в треугольнике со сторонами 13,14,15 высота к стороне 14 равна 12, и она делит сторону 14 на отрезки 5 и 9. (Стоит ли упоминать, что в силу признака равенства треугольников по трем сторонам, ДРУГИХ таких треугольников не бывает :))
Это простое наблюдение не требует сложных вычислений (записать это намного труднее, чем сообразить). В результате площадь треугольника считается устно, и равна
S = 12*14/2 = 84;
В данном случае площадь легко считается и по формуле Герона, но это не всегда так, и - кроме того - применение сложных формул увеличивает вероятность ошибки. А метод "Пифагоровых троек" позволяет сосчитать площадь моментально, устно и безошибочно.
Стоит только помнить, что после получения ответа таким способом надо еще уметь получить его "стандартными" методами. Если поискать среди моих задач - там есть более подробное изложение различных способов, которые надо прменять в таких случаях. Формула Герона вообще должна применяться только тогда, когда нет другого выхода.
Другие вопросы из категории
Читайте также
длины хорд отсекаемых этой новой окружность. на сторонах треугольника, Пожалуста помогите
треугольник АВС Периметр = 45 см описанная окружность с центром в точке О и радиусом R. правильный 6-угольник. Найти: сторону 6-угольника.