Ребятушки, спасайте, родненькие!!! Через концы диаметра окружности проведены параллельные хорды. Докажите, что эти хорды А)- равны

+ 0 -

серго234

11 февр. 2017 г., 13:07:55 (7 лет назад)

А) Если мы возьмем произвольную хорду, и проведем 2 диаметра из её концов, и соединим противоположные концы, то получим 2 раных треугольника (по 2 сторона и углу между ними), и поэтому вторая хорда будет параллельна первой, потому что накрест лежащие углы между ними и любым из диаметров будут одинаковые. В силу того, что через одну точку можно провети только одну параллельную прямую, пункт 1 доказан (ну, мы взяли конец и провели от него равную хорду, и доказали, что она параллельна, а параллельная через точку бывает только одна...).

Заметим, что равному центральному углу соответствует равная хорда по все таому же признаку равенства треугольников.

Б) Мы уже в пункте А) получили 2 диаметра в качестве диагоналей некого 4 угольника, у которого параллельные и равные хорды являются боковыми сторонами.    Две другие стороны получаются, если соединить вершины хордами. Эти хорды тоже будут равны (у них тоже равные цетральные углы) и параллельны - и тут тоже равные накрест лежащие углы при секущей (укажите эти равные углы, раз проходите тему!...:)). 

Осталось только увидеть, что это ПАРАЛЛЕЛОГРАММ С РАВНЫМИ ДИАГОНАЛЯМИ поэтому это - прямоугольник. 

Замечание - то, что параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником, доказать легко. Например так - линия, соединяющая точку пересечения диагоналей и середину стороны - это медиана в равнобедренном треугольнике, поэтому она перпендикулярна основанию, но такая линяя является средней линией в треугольнике, образованном 2 хордами (то есть сторонами) и диаметром (то есть диагональю), то есть средняя линяя перпендикуляна к той хорде, которую делит пополам, но она II другой хорде, поэтому хорды взаимно перпендикулярны.