Дано: MA перпендикулярна плоскости АВС Доказать: MA перепендикулярна ВС К ЗАДАНИЮ

+ 0 -

анастасия300

03 июля 2014 г., 7:41:00 (9 лет назад)

Проведем из точки А перпендикуляр к СВ и обозначим точку их пересечения Н
Соединим М и Н. Очевидно, что МН - наклонная к плоскости АВС. Самое время вспомнить теорему о трех перпендикулярях:
Прямая (ВС), лежащая в плоскости и перпендикулярная проекции (АН) наклонной (МН) к этой плоскости, перпендикулярна и самой наклонной.
или иначе
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна к наклонной
----------------------------------------------------------
Доказательство теоремы на примере данной задачи:
Проведем прямую НK параллельно прямой AМ. Прямая НK перпендикулярна плоскости АВС (так как она параллельна AB), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, НK перпендикулярна прямой ВС. Проведем через параллельные прямые AМ и НK плоскость β (параллельные прямые определяют плоскость, причем только одну). Прямая ВС перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости β, это BC по условию и НK по построению, значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой МН.