Диагонали прямого параллелепипеда образуют с плоскостью основания углы 30 гр. и 45 гр., а стороны основания равны 6 и 8 см. Вычислите площадь полной поверх

+ 0 -

NUTA1981

06 нояб. 2013 г., 8:57:45 (10 лет назад)

Более изящного решения я не нашел, хотя потратил на задачу 4 минуты.

Итак, в основании лежит параллелограмм со сторонами 6 и 8. Диагонали этого параллелограмма различны. В задаче задано, что диагонали ПРЯМОГО параллелепипеда составляют с плоскостью основания углы 45 и 30 градусов. Эти углы - на самом деле углы между диагоналями и их проекциями на основание, которыми (проекциями) являются диагонали параллелограмма в основании. То есть получается, что меньшая диагональ основания равна  высоте параллелограмма, а большая в корень(3) раз больше (это котангенс 30 градусов, малая диагональ = высота = боковое ребро = большая диагональ основания*тангенс(30 градусов)).

Чтобы все это получить, надо рассмотреть два прямоугольных треугольника, которые образуют диагонали параллелепипеда, диагонали основания и боковые ребра (они же высоты параллелепипеда). Один из этих треугольников равнобедренный из за угла 45 градусов, а в другом острый угол между большей диагональю параллелепипеда и большей диагональю параллелограмма в основании равен 30 градусам.

Осталось расмотреть основание поподробнее. Это параллелограмм со сторонами 6 и 8, пусть острый угол равен Ф, меньшая диагональ D. Тогда по теореме косинусов

6^2 + 8^2 -2*6*8*cos(Ф) = D^2;

6^2 + 8^2 +2*6*8*cos(Ф) = (корень(3)*D)^2 = 3*D^2;

Отсюда 4*D^2 = 200; D = 5*корень(2); Это не только диагональ, но и высота параллелограмма.

Поэтому боковая поверхность имеет площадь 2*(6+8)*5*корень(2) = 140*корень(2);

Из первого уравнения

cos(Ф) = 25/48; 

Обалдеть, чего Богомолов накрутил...

Осюда sin(Ф) = корень(1 - (25/48)^2) = корень(1679)/48; (да кто же эти числа придумал? 1679 = 23*73, 23 и 73 - простые числа) 

Площадь основания 6*8*sin(Ф) = корень(1679); 

Полная поверхность имеет плошадь 2*корень(1679) + 140*корень(2). 

Ну я не знаю... если у меня затмение, поправьте :((((((((