диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O и являются биссектрисами его углов. периметр равен 40. угол BCO=30 градусов. найдите BD

+ 0 -

Ruslan19801

05 сент. 2013 г., 12:41:53 (10 лет назад)

заметим, что угол OCD = BCO = 30 гр => угол BCD = 60 гр => угол CDA = 120 гр, а угол CDO=ODA=60 гр

рассмотрим треугольник COD в нем углы OCD и ODC равны 30 и 60 гр соответственно => угол COD = 180 - 30 - 60 = 90 гр => диагонали перпендикулярны друг другу  (так как при пересекающихся прямых противоположные углы равны, а смежные дают сумму в 180 гр)

рассмотрим треугольники BCO и BOA

применим теорему пифагора: BO^2+OC^2=BC^2; BO^2+OA^2=BA^2

поскольку в пар-ме диагонали точкой пересечения (в данном случае - O) делятся пополам, то OA=OC

вернемся к двум верхни уравнениям, видно, что левые части у них равны => BA^2=BC^2 => BA=BC => наш четырехугольник является ромбом

поскольку периметр ABCD=40, то каждая из сторон равна 10

ищем диагональ BD:

рассмотрим треугольник BCO:

угол BCO равен 30 гр => sin BCO=sin 30=1/2=BO/BC => BO=5

BD=BO+OD (BO=OD) => BD=10