Докажите, что треугольник равнобедренный, если биссектрисы углов при основании равны.
5-9 класс
|
Это очень сложная задача, у неё есть геометрическое решение, но очень нудное.
Алгебраическое решение такое - если стороны a b c, и биссектрисы la и lb выходят из концов с (то есть это биссектрисы углов А и В), то
la = b*c - a^2*b*c/(b + c)^2; (*******)
lb = a*c - a*b^2*c/(a + c)^2;
Приравниваем, получаем
a*c - a*b^2*c/(a + c)^2 = b*c - a^2*b*c/(b + c)^2;
a - b = a*b*(b/(a + c)^2 - a/(b + c)^2);
Предположим, что a > b;
Тогда левая часть равенства положительна, а правая отрицательна, и получается противоречие. Поэтому a = b;
Предполагается, что вы умеете вычислять длину биссектрисы по сторонам треугольника, то есть знаете формулу (*******).
Т.к. биссектрисы углов равны, углы получаются равны, а если углы при основании равны, то (по определению) треугольник равнобедренный. ч.т.д.
Другие вопросы из категории
треугольника. Найдите сумму длин всех отрезков
Читайте также
1 Найдите градусную меру угла АДС
2 докажите что треугольник равнобедренный
если то пожалуйста с чертежом
угла равны, то он равнобедренный. 3. Объясните, что такое обратная теорема. Приведите пример. Для всякой ли теоремы верна обратная? 4. Докажите, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.