ABCD-выпуклый 4х-угольник, точки M и N- середины противолежащих сторон AB и CD соответственно. Известно, что MN=1/2(BC+AD). Следует ли из этого, что
5-9 класс
|
BC||AD?
Предположим что:
m=(a+b)/2 ,но a не параллельно b
Сделаем вспомогательные построения:
Проведем сторону BQ=x параллельно m.
И прямую AW=y параллельно m (она же параллельна x)
По теореме Фалеса тк AM=MB,то QN=NW=L
Тк СN=ND,то CQ=WD=m
На продолжении AW отложим отрезок равный x.
Далее из соответственных и вертикальных угол выходит что углы
DWZ и BQC равны. То треугольники BQC и WDZ равны по 2 сторонам и углу между ними. То DZ=BC=a.
То по неравенству треугольника AZD: (a+b)>(x+y)
Тк ABQW-трапеция,а m -ее средняя линия,то
2m=(x+y). По предположению: 2m=(a+b)
То (a+b)=(x+y)
Что противоречит неравенству : (a+b)>(x+y)
То есть мы пришли к противоречию.
Значит BC параллельно AD.
Это решение я назвал (Офигенный кораблик)
Это задание для ЗФТШ повышенной сложности)
:) И действительно интересное задание. Я сначало подумал что утверждюение неверно. И принялся искать контр пример. Но потом подумал : А что если оно справедливое? И тут и нагрянуло доказательство :)
Если еще будут интересные задачки. Буду рад помочь. Выкладывайте.
Я уже выложила одну новую. Там доказать смогла, а найти углы не могу( вчера целый вечер промучилась, ничего(
Да ну и задачка :) Завтра поразмыслю :)
Поставила меня в тупик
Контр пример конечно существует. НО как его придумать :)
Мне вот интересно ,откуда эта задача. Она сначало вызвала у меня некоторые затруднея. Да и сами видите решени довольно замудренное. :)
Другие вопросы из категории
Читайте также
треугольника BCD, тангенс угла ECD равен 3.
AD треугольника ABC в точке O, а прямая CO пересекает сторону AB в точке K. Найдите площадь треугольника OBK.