Около окружности радиуса 1 описана равнобочная трапеция, площадь которой равна 5. Найти площадь четырёхугольника, вершинами которого служат точки касания

+ 0 -

Margaritatrofi

16 июля 2014 г., 7:05:22 (9 лет назад)

Пусть Трапеция ABCD; AB = CD; пусть точки касания AB с окружностью M, BC - K; CD - N; AD - P; надо найти площадь дельтоида MKNP; центр окружности пусть O.
Площадь трапеции S = 5 = p*r; r = 1; поэтому p = 5; 
поскольку суммы противоположных сторон равны, AB + CD = 2*AB = p  = 5;
AB = 5/2; (Средняя линия (AD + BC)/2 тоже равна p/2, то есть равна боковой стороне. В решении это не пригождается, но полезно знать :) )
Треугольник AOB - прямоугольный, его гипотенуза AB = 5/2; высота равна OM = r = 1;
Треугольник KMP тоже прямоугольный, так как KP - диаметр. 
∠OAB = 90° -  ∠MOA; то есть ∠MOA = ∠ABO;
∠MOA = (1/2)*∠MOP = ∠MKP; получилось ∠ABO = ∠MKP; 
то есть прямоугольные треугольники AOB и MKP подобны. 
Гипотенуза треугольника MKP KP = 2*r = 2; поэтому высота к гипотенузе равна OM*(KP/AB) = 4/5; само собой, это половина MN, то есть MN = 8/5;
Площадь MNKP равна половине произведения диагоналей, то есть
KP*MN/2 = 2*(8/5)/2 = 8/5;