В треугольник со сторонами 20, 34 и 42 вписан прямоугольник с периметром 40 так что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника. Найти стороны

+ 0 -

Monk92

12 мая 2014 г., 4:46:35 (10 лет назад)

пусть АВ=20 ВС=34 АС=42

пусть Н - основание высоты, опущенной из точки В на АС, то есть ВН - высота. Тогда:

АН^2+BH^2 = 20^2;

CH^2+BH^2 = 34^2;

CH+AH = 42;

Из первых двух уравнений имеем

34^2-20^2 = CH^2 - AH^2;

Отсюда 756 = 42*(СH - AH);

CH-AH = 18; 

Теперь уже совсем легко CH=30 AH= 12 BH=16; Нашли высоту и как её основание делит противоположную сторону. Если рассмотреть треугольник, образованный сторонами АВ ВС и верхней стороной вписанного прямоугольника (паралельной АВ), то он совершенно :)  подобен АВС. В том числе высота ВН делит его основание в той же пропорции 12/30, то есть 2/5. То есть отрезку АН =12 соответствует 2/7 верхней стороны прямоугольника.  

Если обозначить стороны прямоугольника за х и у, то из подобия треугольников следует,что 

(16-x)/(2*y/7) = 16/12;

Ну, и 2*(х+у) = 40; (по условию, периметр прямоугольника)

Кстати, получается очень ГОВОРЯЩЕЕ соотношение 1 = x/16 + y/42; интересно, можно ли его сразу увидеть? В любом случае, дальше элементарно.

x+y = 20;

21*x+8*y = 336; (просто помножил 1=х/16+y/42 на 336)

336 = 21*x + 8* (20-x); 176 = 13*x; x = 13+7/13; y = 6+6/13; Кривой какой-то ответ :(