Четырехугольник ABCD, диагнали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность. Перпендикуляры, опущенные на сторону AD из вершин B и

+ 0 -

KrisRIP

22 окт. 2013 г., 20:15:42 (10 лет назад)

Без рисунка не обойтись. Открыть его лучше в ново окне, окна с рисунком и решением расположить рядом и следить за ходом решения по рисунку. 

Так как перпендикуляры из В и С, опущенные на АD - параллельны,

то ВF и ЕС при них секущие, и

∠ 1=∠2, и

∠ 3=∠ 4 как накрестлежащие. 

Рассмотрим треугольники ВМD и ВОЕ.
Они подобны, так как оба прямоугольные по условию и имеют общий ∠ 1.

Следовательно, и

∠ 5 = ∠ 3 треугольника ВОЕ

∠ 6 и ∠ 5 вписанные и опираются на одну и ту же дугу, которая стягивается хордой АВ.
Следовательно,

∠6 = ∠ 5.
А ∠ 5 = ∠3 и потому и

∠5=∠ 4, равенство с которым угла 3 доказано выше .

Следовательно,

∠ 6=∠ 4.

Рассмотрим Δ АСН и Δ СОF
Они прямоугольные, имеют общий угол АСН и потому подобны.

Отсюда следует 

∠ 2 = ∠7.
Вписанный ∠7 опирается на ту же дугу, что вписанный ∠ 8 треугольника СВД, следовательно,

∠7 = ∠8.
Но ∠ 7= ∠2=∠ 1.⇒
∠1=∠ 8. ⇒

∠ 8=∠2
Рассмотрим Δ ВСF.

Углы при основании ВF равны,

СО делит ∠ ВСН на два равных

и является биссектрисой и  высотой этого треугольника.

Следовательно,Δ ВСF - равнобедренный.
Но ЕО в треугольнике ВЕФ - также высота, и ВО=ОF.

Этот треугольник также равнобедренный.

∠ 1=∠ 9,

а∠ 3= ∠10, т.к. ЕО высота и биссектриса равнобедренного треугольинка ВЕF
Таким же образом треугольник ВСЕ и треугольник ЕFС равнобедренные и равны между собой.
В результате всех этих доказательств мы имеем четырехугольник, в котором все   стороны равны, и этого достаточно для того, чтобы утверждать равенство   

ЕF=ВС=1

--------------------------------