В трапеции ABCD (AB||CD) на диагонали AC взята точка P и через нее проведена прямая MN параллельно прямой AB (точка M лежит на прямой AD, точкаN –

10-11 класс

на BC, Где на прямой AC надо взять точку P, чтобы сумма площадей треугольников APM и CPN была наименьшей

наруто904 18 мая 2013 г., 2:33:41 (10 лет назад)

Рейтинг

+ 0 -

Хороший вопрос

0 Жалоба

Ответить

+ 0 -

Alenkalova2014

18 мая 2013 г., 4:31:58 (10 лет назад)

Продолжу , положим что $\frac{AP}{AC}=y$ , из следствия что треугольники $ABC,CPN$ подобны , так же как и $AMP;ADC$ , получим
$\frac{S_{CPN}}{S_{ABC}}=\frac{PC}{AC}\\\\
\frac{PC}{AC}=\frac{AC-AP}{AC}=1-y\\\\
S_{CPN}=S_{ABC}(1-y)^2\\\\
 \frac{S_{AMP}}{S_{ADC}}=\frac{AP}{AC}=y\\\\
S_{AMP}=S_{ADC}y^2\\\\
$

$S=S_{ABC}(1-y)^2+y^2S_{ADC}\\\\ 
S=\frac{AB*H}{2}(1-y)^2+y^2*\frac{DC*H}{2}\\\\
\frac{2S}{H}=AB(1-y)^2+y^2DC\\\\ 
f(y)=AB(1-y)^2+y^2DC\\\\
f'(y)=-AB+ABy+DCy=0\\\\
AB(y-1)+DCy=0\\\\
AB(1-y)=DCy\\\\
\frac{AB}{DC}=\frac{y}{1-y}\\\\ 
\frac{AP}{PC}=\frac{AB}{DC}\\\\ 
$
а по свойству диагональ делить треугольники на подобные что соответствую исходному, а остальные два треугольник будут равны
Ответ при пересечений диагоналей

Хороший ответ

0 Жалоба Ответить

+ 0 -

Нelga

18 мая 2013 г., 5:09:55 (10 лет назад)

если x = 1/2, то P - середина AC а почему?

Хороший ответ

0 Жалоба Ответить

+ 0 -

Pc2

18 мая 2013 г., 7:13:30 (10 лет назад)

Я могу как нибудь Вам скинуть рисунок к этой задаче?

Хороший ответ

0 Жалоба Ответить

+ 0 -

Naka7

18 мая 2013 г., 10:08:16 (10 лет назад)

а тут нестандартное обозначение вершин, AB и CD - основания. Бред, я решал более интересную задачу...

Хороший ответ

0 Жалоба Ответить

+ 0 -

Legeyda

18 мая 2013 г., 10:49:01 (10 лет назад)

Если обозначить z = AP/AC; a = AB; b = CD; H - высота трапеции; то S = (1 - z)^2*a*H/2 + z^2*b*H/2; или 2S/H = (1 - z)^2 + (b/a)*z^2; минимум найти очень легко. Скажем, если через производную, то 1 - z + (b/a)*z = 0; z = a/(a - b); ну, для квадратичной зависимости производные не нужны, просто так сразу ответ. А чертеж тут чего слать, не интересно...

Хороший ответ

0 Жалоба Ответить

+ 0 -

Gogeter

18 мая 2013 г., 12:16:52 (10 лет назад)

надо же, я производную взял не верно :)))) чего только не бывает. Знак перепутал. Не берите с меня пример :))) z - 1 + (b/a)z = 0 конечно. Ну, это бывает :)))))) z = a/(a + b); да, эта точка совпадает с пересечением диагоналей.

Хороший ответ

0 Жалоба Ответить

Ответить

Другие вопросы из категории

4012qwe / 13 мая 2013 г., 18:05:01

найдите площадь треугольника вершины которого имеют координаты (1;7) (4;7) (4;9)

найдите площадь треугольника вершины которого имеют координаты (7;9) (6;7) (6;9)