Диагонали АС и BD трапеции АВСD пересекаются в точке O. Площади треугольников АОD и ВОС равны соответственно 25 см^2 и 16см^2. Найдите площадь трапеции.

+ 0 -

SmasH121

11 июня 2013 г., 18:28:39 (10 лет назад)

Треугольники АОД и ВОС - подобны (все углы равны). Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть:

к² =25/16

к = 5/4

Значит АО/ОС = ОД/ОВ = 5/4                  (1)

Воспользуемся формулой для площади тр-ка через две стороны и синус угла между ними (пусть угол АОД = углу ВОС = α):

S(АОД) = (1/2)*АО*ОД*sinα = 25

S(ВОС) = (1/2)*ВО*ОС*sinα = 16

Теперь из второго выразим ВО и ОС:

ВО = 32/(ОС*sinα);  ОС = 32/(ВО*sinα)      (2)

Эти формулы пригодятся при нахождении площадей тр-ов АОВ и СОД:

S(АОВ) = (1/2)*АО*ОВ*sin(π-α);   S(СОД) = (1/2)*ОД*ОС*sin(π-α)       (3)

Подставим (2) в (3) и учтем, что sin(π-α)=sinα :

S(АОВ) = 16*(АО/ОС);    S(СОД) = 16*(ОД/ОВ)

С учетом (1) получим что эти треугольники равновеликие и их площади равны:

S(АОВ) = S(СОД) = 16 *(5/4) = 20 см².

Площадь всей трапеции состоит из площадей 4-х треугольников:

S(АВСД) = 25 + 16 + 2*20 = 81 см²

Ответ: 81 см².

+ 0 -

Alinka255

11 июня 2013 г., 20:03:10 (10 лет назад)

Треугольники АОD и ВОС подобны с коэффициентом подобия 4/5.