В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC медианы пересекаются в точке O. Найдите площадь ABC, если AO=13

+ 0 -

Waynerooney

11 марта 2017 г., 14:16:43 (7 лет назад)

пусть середина АС обозначена за Е. 

тр-к АОЕ имеет площадь 1/6 от площади треугольника АВС. Это прямоугольный треугольник с заданной гипотенузой АО = 13 и неизвестными углами.

Если обозначить угол ОАЕ (он же ОАС) за Ф, то

Sabc = 6*Saoe = 6*(1/2)*OE*AE = 3*AO^2*sin(Ф)*cos(Ф) = (3/2)*АО^2*sin(2Ф).

Ну, отсюда следует, что 0 < Ф < некий максимально возможный угол. Интересно, какой?

Примечание.

Есть формула для площади треугольника через его медианы, для равнобедренного треугольника она выглядит так. 

S = (M/3)*корень((2*m)^2 - M^2); если опубликуют такую задачу - напишу решение.

В условиях задачи 2*m = 3*АО = 39. М - медиана к основанию, не задана. Видно, что максимальное значение M = 2*m, больше нельзя. Это соответствует странному случаю, когда АО перпендикулярно АС :)) Видимо, максимальный угол Ф все таки равен 90 градусов (это не доказательство, а просто замечание). 

Вывод - условие неполное, необходимо еще что-то - чтобы узнать угол или какую-то длину. Фактически нам предложено однозначно определить треугольник по одной медиане, что некорректно. Бывает, что неполного условия достаточно, но тут не тот случай.