В выпуклом четырехугольнике АВСД углы ДАС и ДВС равны. Докажите, что углы СДВ и САВ также равны.
10-11 класс
|
На самом деле в условии неявно предполагается, что точки A и B лежат в одной полуплоскости относительно прямой CD. В противном случае это не так :).
Я в решении этим пользуюсь.
Все точки, из которых отрезок DC виден под тем же углом, что и из точки А, лежат на дуге CAD окружности, описанной вокруг треугольника ABC.
Доказать это очень просто - если точка B лежит где то в другом месте (в одной полуплоскости с точкой A), то прямая DB или прямая CB пересекает дугу CAD (пересекать дугу могут и обе прямые, но важно именно то, что одна прямая ОБЯЗАТЕЛЬНО пересекает дугу), и из точки пересечения B1 хорда видна под тем же углом, то есть получается треугольник BB1C (или BB1D, берется именно та прямая, которая пересекает дугу CAD), у которого внешний угол равен внутреннему. Чего быть не может :).
Поэтому четырехугольник ABCD вписанный, и углы CDB и CAB опираются на дугу CB. Поэтому они равны.
Вариант решения.
Обоозначим точку пересечения DВ и АС буквой О.
Рассмотрим треугольники АОD и ВОС.
Они подобны. В них имеются два равных угла ( кроме DАС=DВС равны и вертикальные углы при О.)
(I признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.)
Другие вопросы из категории
основания пирамиды?
В треугольнике АВС стороны АС и ВС равны, АВ =
Читайте также
диагонали четырехугольника
параллелограммом ! 2) Докажите, что четырехугольник, противоположные стороны которого попарно равны ,являются параллелограммом 3) Докажите, что четырехугольник, у которого сумма углов , ,прилежащий к любой стороне , рана 180 градусов,является параллелограммом !
2.В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС известно,что угол ВАС равен 80°.Найдите величиу угла АВС.
3.В прямоугольном треугольнике АВС угол С-прямой,внешний угол ВАК=120°, АВ+АС=36.Найдите длину катета АС.
4.В выпуклом четырехугольнике АВСD диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Найдите меньший угол четырехугольника АВСD,если А:В=2:3