Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы.

5-9 класс

Hota25 23 июня 2014 г., 6:45:19 (9 лет назад)

Рейтинг

+ 0 -

Хороший вопрос

0 Жалоба

Ответить

+ 0 -

Asta111ken

23 июня 2014 г., 8:15:15 (9 лет назад)

Векторами можно, например. Вообще с нуля, не привлекая никакие описанные окружности и о то, что гипотенуза лежит на её диаметре.

Вводим ортонормированный базис $\left\{\mathbf{i},\mathbf{j}\right\}$ в вершине прямого угла с ортами, направленными по катетам. В этом базисе катеты (AB и AC) будут иметь компоненты $\left(AB; 0\right)$ и $\left(0; AC\right)$ , а гипотенуза $\mathbf{AB} + \mathbf{BC} = \mathbf{AC} \;\; \Rightarrow \;\; \mathbf{BC} = \mathbf{AC} - \mathbf{AB}$ — компоненты $\left(-AB; AC\right)$ .

Половина вектора $\frac{1}{2}\mathbf{BC} = \mathbf{BE}$ , конец E которого будет точкой исследуемой медианы, принадлежащей гипотенузе, имеет компоненты $\left(-\frac{AB}{2}; \frac{AC}{2}\right)$ . Следовательно, медиана $\mathbf{AE} = \mathbf{AB} + \mathbf{BE}$ будет иметь компоненты $\left(AB - \frac{AB}{2}; 0 + \frac{AC}{2}\right) = \left(\frac{AB}{2}; \frac{AC}{2}\right)$ .

Находим длину (норму) вектора $\mathbf{AE}$ , которая и будет представлять длину медианы:

$||\mathbf{AE}|| = \sqrt{\mathbf{AE} \cdot \mathbf{AE}} = \frac{1}{2}\sqrt{AB^2 + AC^2}$ .

А длина (норма) вектора гипотенузы $\mathbf{BC}$ :

$||\mathbf{BC}|| = \sqrt{(-AB)^2 + AC^2}$ .

Следовательно, длина медианы AE в точности равна половине длины гипотенузы BC.

Утверждение доказано.

Хороший ответ

0 Жалоба Ответить

Ответить

Другие вопросы из категории

Kristina1010022 / 23 июня 2014 г., 5:13:44

средняя линия равнобедренного треугольника параллельная основанию равна 16 см а биссектриса проведенная к основанию -30 см .найдите среднюю линию

параллельную боковой стороне треугольника.Решите плиз.Буду очень благодарен

5-9 класс геометрия ответов 1

Крамер / 22 июня 2014 г., 16:52:22

Два отрезка АВ и СD пересекаются в точке О,которая является серединой каждого из них.Докажите равенство треугольников АСD и BDC

5-9 класс геометрия ответов 1

Gogaegrov / 21 июня 2014 г., 23:45:23

докажите , что у равных треугольников АВС и А1В1С1 медианы, проведённые из вершин А и А1 равны. помогите плиз )

5-9 класс геометрия ответов 1

Evolvl / 20 июня 2014 г., 7:03:54

совсем непонимаю как решать((

5-9 класс геометрия ответов 1

Тина777Gold / 18 июня 2014 г., 15:30:21

Помогите пожалуста решить я пропустил и не могу понять как это решать.Задание сложное поэтому 50 балов за ответ.

5-9 класс геометрия ответов 6

Читайте также

Dashustik15 / 25 авг. 2013 г., 19:21:24

1. Докажите, что высоты проведенные из вершин острых углов равнобедренного тупоугольно треугольника, равны. 2. Докажите, что в прямоугольном

треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

5-9 класс геометрия ответов 1

Zenzeliinessa / 20 июня 2014 г., 15:12:10

доказать что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы. Решит без использования

описанной окружности

5-9 класс геометрия ответов 1

Ashpan2007 / 08 мая 2014 г., 12:06:52

В равнобедренном треугольнике один угол =120 градусам а основание =4 см Найти высоту проведенную к боковой стороне

Высота проведённая к боковой стороне равнобедренного треугольника Делит угол пополам между основанием ибиссиктрисой Найти углы равнобедренного треугольника

Докажите что медиана треугольника равна половине стороны к которой она проведена значит треугольник прямоугольный

Докажите что если треугольник прямоугольный то медиана проведена из вершины прямого угла равна половине гипотенузы

5-9 класс геометрия ответов 1

Nosovasofya / 09 июня 2013 г., 13:56:36

Пожалуйста... В равнобедренном прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна 5√2 см. Найдите площадь треугольника

5-9 класс геометрия ответов 1

198103 / 08 дек. 2014 г., 14:21:55

Высота CD прямоугольного треугольника ABC,проведенная из вершины прямого угла,равна 4 см.Известно,что она делит гипотенузу на отрезки,один из которых

равен: 1)4 см; 2)4 корня из трех см.Найдите градусные меры острых углов треугольника ABC.

5-9 класс геометрия ответов 1

Вы находитесь на странице вопроса "Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы.", категории "геометрия". Данный вопрос относится к разделу "5-9" классов. Здесь вы сможете получить ответ, а также обсудить вопрос с посетителями сайта. Автоматический умный поиск поможет найти похожие вопросы в категории "геометрия". Если ваш вопрос отличается или ответы не подходят, вы можете задать новый вопрос, воспользовавшись кнопкой в верхней части сайта.