Доказать, что среди всех четырехугольников данным диагоналями и данным углом между ними наименьший периметр имеет параллелограмм
1-4 класс
|
Пусть ABCD - произвольный четырехугольник, в котором AC=a, BD=b, угол(AC,BD)=α, где a,b,α - заранее данные, 0°<α≤90°.
Обозначим через Е и M такие точки, что BECA и ACMD - паралелограммы. Тогда BEMD - паралелограмм со сторонами a, b и углом α между ними.
Используя неравенство треугольника, получаем:
AB+BC+CD+DA=EC+BC+CD+CM≥ED+BM
Итак, периметр четырехугольника ABCD не меньший, чем сумма длин диагоналей паралелограмма BEMD. Знак равенства достигается тогда, когда точки B, C, M лежат на одной прямой и точки E, C, D лежат на одной прямой, тоесть при выполнении условия, что ABCD - паралелограмм
Что и требовалось доказать.
Другие вопросы из категории
переносе на вектор BD
г) при повороте точки A на 45 градусов против часовой стрелки
Читайте также
ВОК, если известно, что АМ=ВК.
3) Существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин данного треугольника. 4) Одна из высот прямоугольника треугольника всегда делит его на два подобных треугольника.