Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника
10-11 класс
|
АВК к площади четырехугольника КРСМ
Без теоремы Чевы и следствий. Кому надо с ней - сами и делайте :)
Пусть N лежит на АР так, что MN II BC.
Тогда треугольники ВКР и MNK равны, поскольку у них равны все углы и ВК = КМ.
Поэтому NK = KP, а поскольку NP = AP/2, то КР = АР/4;
Далее, MN = PC/2; но ВР = MN; поэтому ВР = РС/2 = ВС/3;
Теперь применяется (в массовом порядке :) ) известное свойство - если у треугольников высоты к каким-то сторонам равны, то площади относятся, как длины этих сторон.
Если обозначить S площадь АВС, то площадь АРС равна S*2/3;
Площадь АВМ равна S/2; а площадь АКМ (и - между прочим - площадь АВК) равна половине площади АВМ, то есть S/4;
Окончательно, площадь KPCM равна S*2/3 - S/4 = S*5/12; а искомое отношение равно (S/4)/(S*5/12) = 3/5;
Другие вопросы из категории
Читайте также
треугольникаABKкплощадичетырёхугольникаKPCM
градусов к гипотенузе, проведена прямая,пересекающая отрезок ВС в точке F.Найти площадь треугольника CDF.
отношение ВА:АМ, если известно, что данная прямая делит площадь треугольника АВС в соотношении 4:1 и ВN=2NC.
то площадь трапеци равна?
1) Докажите, что АРСК — параллелограмм.
2) Найдите площадь АРСК, если АК = 4, KD = 8 и АС =13.
3) Найдите РК.
4) С помощью микрокалькулятора найдите угол АОК.