В равнобедренном треугольнике основание равно 6 см, а боковая сторона 5 см. Найти расстояния от точки пересечения высот треугольника до его вершин.

+ 0 -

Levanat77

21 нояб. 2013 г., 17:04:21 (10 лет назад)

Нарисуем равнобедренный треугольник АВС. 
Высоты треугольника пересекаются в одной точке (см. теорему). 
В равнобедренном треугольнике расстояние от вершин основания до точки пересечения высот равно, поэтому для решения достаточно двух высот. 
Проведем 2 высоты треугольника АВС:
одну к основанию -ВМ, вторую к боковой стороне - АМ 
Точку пересечения высот обозначим О. 
Рассмотрим треугольники АВН и АНС. 
АН - общий катет  этих прямоугольных
треугольников. 
Сторона ВС делится высотой на отрезки ВН=х и НС=5-х 
Составим по формуле Пифагора выражение для высоты АН из этих двух треугольников и приравняем их. 
АН²= АВ²-ВН² 
АН²=АС²-(5-х)² 
5²-х²=6²-(5-х)² 
25-х²=36-25+10х-х² 
10х=50-3610х=14х=1,4
Из тр-ка АНС найдем НС 
НС=5-1,4=3,6
Чтобы найти АО, нужно знать длину АН 
АН²=АС²-СН²=36-12,96 
АН=4,8
Треугольники ВОН и АОМ подобны - в них равны острые вертикальные углы. 
Для прямоугольного треугольника этого достаточно, так как остальные 2 угла тоже равны. 
По этой же причине подобны АНС и ВОН ( равны углы НАС и ОВН в прямоугольных треугольниках) 
ВН:АН=ВО:АС 
1,4:4,8=ВО:6 
4,8 ВО=8,4
ВО=1,75
ОН²=1,75²-1,4² 
ОН²=3,0625-1,96 
ОН=1,05 
АО=АН-ОН 
АО=4,8-1,05=3,75 см
Ответ: Расстояние от вершины В до точки пересечения высот равно 1,75 см 
От вершин А и С оно одинаково (треугольник равнобедренный) и равно3,75 см