В окружности хорды ab и cd , которые перпендикулярны друг другу и пересекаются в точке P так, что ap=16 bp=10 cp=8 dp=20. найдите расстояние от точки Р

+ 0 -

Iramel1983

04 апр. 2015 г., 13:09:32 (9 лет назад)

Привожу стандартный ход решения подобных задач. Хотя есть и более изящные решения)

Пусть О - центр данной окружности. Тогда АО и ВО - ее радиусы, АО = ВО.

Найдем радиус этой окружности.

Для этого рассмотрим треугольник АСD. Его площадь равна 1/2*16*28 = 224.

Сторона АС по теореме Пифагора из треугольника АРС равна 8√5

Сторона АD по теореме Пифагора из треугольника АРD равна 4√41

Радиус описанной возле него окружности равен 28*8√5*4√41/(4*224) = √205

Итак, радиус нашей окружности равен √205.

Рассмотрим треугольник АОВ. Он равнобедренный, так как АО = ВО как радиусы. Проведем в нем высоту ОЕ из вершины О. Тогда АЕ = 26/2 = 13, ОЕ = 16 - 13 = 3.

Найдем эту высоту.

По теореме Пифагора из треугольника АЕО (с прямым углом Е) имеем:

ОЕ^2 = 205 - 13^2 = 36, откуда ОЕ = 6.

Итак, в треугольнике РЕО искомое расстояние ОР - гипотенуза, РЕ = 3 - меньший катет, ОЕ = 6 - больший катет.

Находим искомое расстояние как гипотенузу этого треугольника:

ОР^2 = 36 + 9 = 45, откуда ОР = 3√5.

Ответ: 3√5