Одна из диагоналей равнобокой.трапецию на равнобедренные треугольники. Найдите острый угол между диагоналями трапеции.
5-9 класс
|
Пусть основания трапеции a (большее) и b, боковая сторона ПО УСЛОВИЮ тоже равна b, а диагональ a.
Легко видеть, что диагональ является биссектрисой угла α трапеции при большем основании, поскольку треугольник со сторонами b и b - равнобедренный. Угол между диагональю и большим основанием равен углу диагонали с меньшим основанием, и - следовательно - равен углу диагонали с боковой стороной. Тогда из равнобедренного треугольника, образованного большим основанием, диагональю и боковой стороной, получается α/2 + 2*α = 180°; α = 72°;
Этот угол, само собой, равен углу между диагоналями - угол между диагоналями является внешним при вершине для равнобедренного треугольника, образованного двумя диагоналями и большим основанием, у которого углы при основании равны α/2;
У этой задачи есть очень важное и совсем нетривиальное продолжение.
Если продлить боковые стороны до пересечения, то угол при вершине получившегося треугольника будет равен 180° - 2*72° = 36°; получился еще один равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны - диагональ, и боковая сторона "достроенного" треугольника. То есть у "достроенного" треугольника с основанием b боковые стороны равны диагонали a.
Весь же треугольник (включая трапецию) можно описать так - это равнобедренный треугольник, у которого равны между собой три отрезка - основание, биссектриса угла при основании и отрезок боковой стороны от вершины до точки пересечения с биссектрисой.
Этих свойств треугольника достаточно, чтобы угол при основании был равен 72°;
Отсюда получается по свойству биссектрисы
a/b = (b + a)/a; или 4*x^2 + 2*x - 1 = 0; где x = b/(2a) = cos(72°);
отсюда cos(72°) = (√5 - 1)/4;
Другие вопросы из категории
Читайте также
треугольника.
2)Стороны прямоугольника равны 2^3 и 2.Найти острый угол между диагоналями прямоугольника.
3)Медиана прямоугольно равнобедренного треугольника, проведёная к основанию, равна 4 см. Найти стороны данного треугольника.
Решите пож срочно если можно то все задачи!И если можно с решением!
5.
2.
Найдите углы параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна одной из сторон.
3.
. В трапеции АВСД диагональ ВД Перпендикулярна боковой стороне АВ, углы АДВ и ВДС равны 30градусам Найдите длину АД, если периметр трапеции равен 60 см.
поподробнее))
ABC угол С=90 градусов угол между высотой CH и кататом CA=14 см найдите угол треугольника ABC.
3:найдите острый угол в прямоугольном треугольнике если их отношение равно 5:13.4
4:угол между высотой и биссектрисой проведёнными из одной вершины тупого равнобедренного треугольника равно 30 градусам найдите угол треугольника
2.Сколько в треугольнике может быть тупых прямых,острых углов?.
3.Высота прямоугольного треуголька опущенная из вершины прямого угла делит как на два угла отношение которых равно 1:4 .Найдите острые углы треугольника
4.Найдите острый угол между высотами равностороннего треугольника.
5.В окружности проведены диаметр АВ и хорды ВС и АС,<АВС=30 градусам,Найдите < ВСА
6.Две стороны равнобедренного треугольника равны 5 и 7 см..Найдите пример треугольника,если угол при вершине а)Больше угла при основании;б)Меньше угла при основании.
задача2)один из углов,образованных диагональю ромба и его стороной,равен 43 градуса. найдите больший угол ромба
задача3)в прямоугольнике угол между диагоналями равен 68 градусов. найдите угол между диагональю и большими основаниями прямоугольника.Ответ дайте в градусах