Статистика
Всего в нашей базе более 4 327 657 вопросов и 6 445 963 ответов!

В остроугольном треугольнике АВС со сторонами АВ=18, ВС=12, АС=15 проведены высоты АА1, ВВ1, СС1, которые пересекаются в точке Н. Найдите отношение А1F

10-11 класс

: FB1, если точка F является точкой пересечения АА1 и СС1.

РЕШЕНИЕ и РИСУНОК.

Kirik0LOL 05 апр. 2014 г., 22:05:01 (9 лет назад)
Рейтинг
+ 0 -
0 Жалоба
+ 0 -
Fanat11
06 апр. 2014 г., 0:35:19 (9 лет назад)

Я не знаю, насколько вы знакомы со свойствами ортотреугольника, поэтому коротко докажу пару свойств. Смотрите чертеж, все - в соответствии с обозначениями задачи, поэтому я не буду пояснять, где там высоты и пр. Если я пишу "cos(C)" без пояснений, то это косинус угла АСВ в исходном треугольнике.

1. тр-к А1В1С подобен АВС.

А1С = АС*cos(C);

B1C = BC*cos(C);

A1C/B1C = AC/BC, угол АСВ общий, поэтому треугольники подобны.

САМО СОБОЙ, это касается и тр-ков АВ1С1 и А1ВС1. Все эти 4 треугольника, включая исходный - подобны.

2. из 1 следует, что угол АВ1С1 = угол А1В1С. ВВ1 - препендикуляр к АС, поэтому

угол С1В1В = угол А1В1В.

То есть В1В - БИССЕТРИССА в треугольнике А1В1С1.

САМО СОБОЙ, С1С и А1А - тоже биссектрисы в треугольнике А1В1С1;

 

Вот теперь можно и задачку порешать.

A1F/FD1 = В1С1/А1С1 по свойству биссектриссы,

но из подобия (см 1.) и теоремы синусов следует

В1С1 = АВ1*sin(A)/sin(C) = AB*cos(A)*sin(A)/sin(C);

A1С1 = А1В*sin(B)/sin(C) = AB*cos(B)*sin(B)/sin(C);

Делим одно на другое, получаем 

A1F/FD1 = cos(A)*sin(A)/(cos(B)*sin(B)); то есть равно отношению синусов удвоенных углов А и В в АВС. Это можно было бы и сразу записать, применяя теорему синусов к ортотреугольнику A1B1C1. Но для этого пришлось бы вычислять его углы... 

Итак, задача ИДЕОЛОГИЧЕСКИ :))) решена, осталось вычислить углы в треугольнике. Способов тут множество, например, сосчитать площадь по формуле Герона, найти высоты, ну и далее - синусы и косинусы... это, так сказать, титанический способ :))).

А можно - по теореме косинусов.

12^2 = 18^2 + 15^2 - 2*18*15*cos(A); cos(A) = 3/4; sin(A) = корень(7)/4;

15^2 = 18^2 + 12^2 - 2*18*15*cos(B); cos(B) = 9/16; sin(B) = корень(7)*5/16;

A1F/FD1 = 16/15

 

Если бы я тут за очками гнался, ни за что бы не стал за 5 очков решать эту задачу :))))))

 

Ответить

Другие вопросы из категории

Читайте также

В треугольник АВС со сторонами АВ=18 и ВС=12 вписан параллелограмм BKLM, причем точки К,L и M лежат на сторонах АВ, АС и ВС соответственно. Известно,что

площадь параллелограмма составляет 4/9 площади треугольника АВС. Найдите стороны параллелограмма.

помогите пожалуйста :)))

около треугольника АВС со сторонами АВ=5, ВС=4 и углом В, равным 60 градусов, описана окружность. Через середину стороны ВС перпендикулярно стороне АВ проведена прямая, которая пересекает окружность в точках М и N. найти длину отрезка МN. ответ:корень из 19
заранее спасибо.

Дано правильный треугольник АВС со стороной 2 √ 3 см. Точка S равноудалена от каждой стороны этого треугольника. Найдите расстояние от точки S к

стороне АВ, если расстояние от точки S к плоскости АВС равна √ 3 см.



Вы находитесь на странице вопроса "В остроугольном треугольнике АВС со сторонами АВ=18, ВС=12, АС=15 проведены высоты АА1, ВВ1, СС1, которые пересекаются в точке Н. Найдите отношение А1F", категории "геометрия". Данный вопрос относится к разделу "10-11" классов. Здесь вы сможете получить ответ, а также обсудить вопрос с посетителями сайта. Автоматический умный поиск поможет найти похожие вопросы в категории "геометрия". Если ваш вопрос отличается или ответы не подходят, вы можете задать новый вопрос, воспользовавшись кнопкой в верхней части сайта.