ABC-треугольник, AB=3 BC=5 CA=7, точка О центр вписанной в треугольник окружности. Разложите вектор CO по векторам b=AB и a=AC.
5-9 класс
|
Пусть биссектриса АО пересекает стороны ВС в точке М. Прежде, чем раскладывать, вычислим ВМ и СМ. Ясно, что ВМ/СМ = 3/7; ВМ + СМ = 5;
отсюда ВМ = 7/2; СМ = 3/2; (и, что важнее всего! -) СМ = СВ*7/10
Применяя свойство биссектрисы к треугольнику СМА (биссектриса СО), получаем
МО/АО = СМ/АС = 1/2;
(на самом деле, это можно было бы сразу записать, если известно свойство точки пересечения биссектрис. Фактически я это свойство вывел)
АО = АМ*2/3;
Вот теперь можно заняться векторами. Жирным шрифтом обозначены векторы, а обычными буквами (если где-то встретятся)- их модули
СВ = АВ - АС = b - a;
CM = (7/10)*(b - a);
АМ = АС + СМ = a + (7/10)*(b - a) = a*3/10 + b*7/10;
AO = AM*2/3 = (a*3/10 + b*7/10)*2/3 = a/5 + b*7/15;
И, наконец,
СО = АO - АC = a/5 + b*7/15 - a = (-4/5)*a + (7/15)*b;
На самом деле, СО - это вычурный выбор, интересно именно АО. Точно тем же способом можно получить очень красивое выражение для АО в общем виде
АО = (a*b + b*a)/(a + b + c)
Другие вопросы из категории
2.Постройте равнобедренный треугольник по углу при вершине и биссектрисе угла при основании.
3.Разделить отрезок AB в отношении 4:5.
(помогите хотя бы один)
Читайте также
2.Докажите, что медиана BM треугольника ABC делит пополам любой отрезок,параллельный AC,концы которого лежат на сторонах AB и BC
соотвецтвенно.Если AC=10 см то отношение DE:MN равно 1)2/3 2)3/4 3)4/3 4)3/2
2.В параллелограмме ABCD BH высота если AB=4 BC=5 и cosABH=0,6,то площадь равна 1)10 2)12 3)16 4)20
Периметр равнобедренного треугольника ABC с основанием BC равен 40 см, а периметр равностороннего треугольника BCD равен 45 см. Найти AB и BC
AM/AB= BN /BC= CP /CA = 1/ 3 . Прямые СМ, AN, BP, пересекаясь, ограничивают
треугольник, площадь которого равна S. Найдите площадь треугольника ABC
стороны AB и BC в точках C1 и A1 соответственно, причем AC1 : C1B= 2 : 1. Найдите площадь четырехугольника AC1A1C.