в треугольнике со стороной а и опущенной на эту сторону высотой h вписан паралеллограм так что, одна сторона его лежит на стороне а треугольника. как

+ 0 -

Alexlexend

01 янв. 2017 г., 23:13:50 (7 лет назад)

Пусть сторона параллелограмма, лежащая на стороне треугольника a, равна b.
Тогда параллельная ей сторона параллелограмма отсекает от треугольника подобный ему треугольник со стороной b и высотой h1 = h*b/a;
Площадь отсеченного треугольника равна (a*h/2)*(b/a)^2 = b^2*(h/2a); 
Есть еще два треугольника "по бокам" параллелограмма,
у которых высоты равны h - h1, а сумма сторон, которые лежат на a, равна a - b;
Суммарная их площадь равна (a - b)*(h - h1)/2 = (a - b)*h*(1 - b/a)/2 = (a - b)^2*(h/2a);
Всего суммарная площадь треугольников "за пределами" параллелограмма равна
S' = ((a - b)^2 + b^2)*(h/2a);
Для того, чтобы площадь параллелограмма была наибольшей, эта суммарная площадь должна быть наименьшей. Найти минимум параболы S'(b) очень простo, достаточно выделить полный квадрат. Но поскольку выражение (a - b)^2 + b^2 симметрично относительно b = a/2, и имеет только один минимум, это и есть ответ (то есть тут случай, когда "сразу видно").
Он не зависит от h.