1) В треугольнике ABC высота CH и медиана CK делят угол пополам ACB на три равных угла . Площадь треугольника ABC равна 1,5 + √3(корень из 3) . Найдите
10-11 класс
|
радиус вписанной в треугольник ABC окружности.
2) Точки O(0;0),A(2;5),B(8;7),C(6;2) являются вершинами четырехугольника . Найдите ординату точки пересечения его диагоналей и дан рисунок . (Рисунок => рисунок во вложениях или по этой ссылке http://s019.radikal.ru/i619/1204/46/5016cf610246.jpg , на фото оба номера , так что если что-то непонятно посмотрите на фото )
Легко видеть, что треугольник АВМ равнобедренный (в нем высота ВН является биссектрисой угла АВМ), и АН = НМ. Конечно же, НМ = МС/2, поскольку ВМ - медиана АВС. В прямоугольном треугольнике НВС (смотри чертеж) ВМ - биссестриса. Поэтому ВН/ВС = НМ/МС = 1/2;
Это означает, что угол АСВ = Ф = 30 градусов.
Отсюда моментально - угол НВС = 60 градусов,
угол МВС = угол МВН (и = угол АВН, конечно) = 30 градусов.
Поэтому угол АВС - прямой. Угол ВАН = 60 градусов.
конечно же, (см. обозначения на чертеже, немного нестандартно: b - гипотенуза АВС, с - малый катет, а - большой) b = 2*с, а = с*корень(3).
Далее поступим так.
Рассмотрим подобный этому треугольник со сторонами 1, корень(3) и 2;
Вычислим его площадь и радиус вписанной окружности.
легко видеть, что площадь его равна
S0 = корень(3)/2;
а радиус
r0 = (1 + корень(3) - 2)/2 = (корень(3) - 1)/2;
По условию S = 3/2 + корень(3);
Пусть x = корень(S/S0); тогда если все линейные размеры (длины сторон) увеличить в х раз, то площадь S0 увеличится в х^2 = S/S0 раз и станет равной требуемой S.
То есть ответ задачи
r = r0*корень(S/S0) = ((корень(3) - 1)/2)*корень(2 + корень(3)) = 1/корень(2); (надо представить (корень(3) - 1) = корень((корень(3) - 1)^2) =
=корень(2*(2-корень(3))), и все сразу становится проще :))
2. Здесь решение просто видно "на глаз", поскольку середины отрезков ОВ и АС имеют одни и те же координаты (4; 3,5).
В самом деле,
4 = (0 + 8)/2 = (2 + 6)/2;
3,5 = (0 + 7)/2 = (5 + 2)/2;
Другие вопросы из категории
треугольника и плоскостью его проекции
Читайте также
MNP, если площадь треугольника ABC равна S.
плоскости треугольника ABC . Найдите отрезок BK , если расстояние от точки K до стороны AC равно 20 см .
и be (d принадлежит ab, e принадлежит ac). Найдите площадь треугольника abc, если площадь четырёхугольника aend равна 3
серединные перпендикуляры к сторонам ac и cb пересекаются в точке m. найдите расстояние от точки m до середины стороны ab.
2) высота ad и ce остроугольного треугольника abc пересекаются в точке o, oa=4см, od=3см, bd=4см. Найдите площадь треугольника abc.
Пожалуйста помогите
радиус окружности вписанной в треугольник ABC.