дорогие друзья!помогите доказать задачу.
10-11 класс
|
в треугольнике АВС проведены медианы АМ,ВН,СД. О-точка пересечения медиан. доказать что,площади треугольников АОВ,АОС и СОВ равны.
заранее спасибо.
1) Рассмотрим треугольники АВН и СВН. Их площади равны, так как у них равные основания (ВН - медиана) и одна и та же высота. Значит S(ABH)=S(CBH) или S(АОB)+S(AOH)=S(СОB)+S(COH)
2) Рассмотрим треугольники АOН и СOН. Их площади также равны, потому что ОН по прежнему медиана, треугольники с равными основаниями и высотами. Значит S(AOH)=S(COH)
3) От первого равенства отнимем второе:
S(АОB)+S(AOH)-S(AOH)=S(СОB)+S(COH)-S(COH)
Значит, S(АОB)=S(СОB)
4) (Аналогично 1 пункту) Рассмотрим треугольники САМ и ВАМ. Их площади равны, так как у них
равные основания (АМ - медиана) и одна и та же высота. Значит
S(САМ)=S(ВАМ) или S(СОА)+S(СОМ)=S(BОА)+S(ВОМ)
5) (Аналогично 2 пункту) Рассмотрим треугольники СОМ и ВОМ. Их площади также равны, потому что ОМ
по прежнему медиана, треугольники с равными основаниями и высотами.
Значит S(СОМ)=S(ВОМ)
6) (Аналогично 3 пункту) От четвертого равенства отнимем пятое:
S(СОА)+S(СОМ)-S(СОМ)=S(BОА)+S(ВОМ)-S(ВОМ)
Значит, S(СОА)=S(BОА)
7) Но так как S(АОB)=S(СОB) и S(СОА)=S(BОА), то S(АОB)=S(ВОС)=S(СОA). Доказано.
(Не знаю может есть и покороче, но что придумалось...)
Другие вопросы из категории
Читайте также
счёт) Помогите пожалуйста, прошу)
SO - высота конуса. Найдите объем и площадь боковой поверхности конуса.
Две задачи (рис. во вложениях)
контрольная,а я вам помогу!!!!!!!!!!
серединные перпендикуляры к сторонам ac и cb пересекаются в точке m. найдите расстояние от точки m до середины стороны ab.
2) высота ad и ce остроугольного треугольника abc пересекаются в точке o, oa=4см, od=3см, bd=4см. Найдите площадь треугольника abc.
Пожалуйста помогите