в треугольнике авс из вершины в проведена высота вд и биссектриса вл найдите площадь треугольника влд если известны длины сторон треугольника авс

+ 0 -

Natasha123123

14 мая 2013 г., 13:16:46 (10 лет назад)

Здесь есть одна хитрость, позволяющая не проводить длинные, хотя и несложные вычисления. Для еще большей "прозрачности" решения я увеличу размеры сторон в 2 раза (площадь всего треугольника и треугольника вдл увеличатся при этом в 4 раза).

Итак, треугольник имеет стороны 13, 14, 15.  

Такой треугольник можно "составить" из двух прямоугольных треугольников с целыми длинами сторон (то есть из двух Пифагоровых треугольников). Надо взять треугольники со сторонами 5, 12, 13 и 9, 12, 15 и совместить одинаковые катеты 12 так, чтобы катеты 5 и 9 вместе образовывали сторону 14. 

( Еще раз - получается, что высота вд делит треугольник на два Пифагоровых, и, следовательно, высота к стороне 14 равна 12. Площадь всего треугольника равна 84. Конечно, все это можно сосчитать, составляя уравнения для длин сторон с использованием теоремы Пифагора. Площадь всего треугольника можно сосчитать по формуле Герона. Но так быстрее и понятнее :))

У треугольника вдл та же высота 12, и надо найти дл. 

По свойству биссектрисы

сл = 14*15/(13+15) = 15/2;

сд = 9 (смотри самое начало :))

Отсюда дл = 1,5.

Sвдл = 12*1,5/2 = 9.

А если вспомнить, в самом начале все размеры были увеличены в 2 раза (а площади - в 4) то ответ 9/4;