В окружность вписан четырехугольник ABCD, у которого AB=19, BC=7, CD=15, AD=21, Стороны AB и CD продолжены до взаимного пересечения в точке M. Найдите

+ 0 -

Liliya5636

08 сент. 2014 г., 5:23:27 (9 лет назад)

К - точка пересечения диагоналей AC и BD. x = BK; y = CK; m = BM; n = CM;
Подобные пары треугольников 1. BKC и AKD 2. AKB и CKD 3. MAC и MBD. В каждой паре треугольников легко указать равные углы (или общие углы, или вертикальные). Например, угол KCB = угол KDA, поскольку они опираются на дугу AB. 
Из подобия AKB и CKD следует AK/21 = BK/7; AK = 3*x; и аналогично DK = 3*y;
Из подобия AKB и CKD получается y/15 = x/19; или x = (19/15)*y;
Отсюда AC = y + 3*x = (72/15)*y; BD = x + 3*y = (64/15)*y;
Из подобия MAC и MBD следует, во-первых, известное равенство
m/(n+15) = n/(m+19); то есть m*(m+19) = n*(n+15); что можно было бы и так сразу записать.
Во-вторых, из подобия MAC и MBD следует менее очевидное равенство
m/BD = n/AC;  
то есть m/((64/15)*y = n/((72/15)*y); или m/8 = n/9; n = (9/8)*m;
Если подставить это в m*(m+19) = n*(n+15); получится
m*(m + 19) = (9/8)*m*((9/8)*m + 15); 
m + 19 = m*(9/8)^2 + 135/8;
m = 8; n = 9;