Доказать, что середины сторон треугольника, основания высот и середины отрезков, соединяющих точку Н пересечения высот с вершинами треугольника, лежат на

+ 0 -

Anastasiya4806

07 окт. 2016 г., 11:44:00 (7 лет назад)

Пусть А₁, В₁,С₁ — средины сторон ВС, АС и АВ; A₂, B₂, C₂ — основы высот; A₃, B₃, C₃ — средины отрезков AH,BH,CH.

Поскольку ∠AA₂B =90°, то АС₁ = С₁А₂, как радиусы круга, описанной вокруг АВА₂.
Следовательно С₁А₂ = А₁В₁.

Кроме того, А₁А₂ || В₁С₁. Поэтому С₁А₂А₁В₁ - равносторонняя трапеция и точка А₂ лежит на окружности, описанном вокруг треугольника A₁B₁C₁.Рассмотрим теперь круг с диаметром А₁А₃. Поскольку А₁В₃ || СС₂, A₃B₃ || AB, то ∠A

+ 0 -

Ari99

07 окт. 2016 г., 13:04:11 (7 лет назад)

Пусть A1,B1 и C1- середины сторон BC,CA и AB;
 A2,B2 и C2- основания высот;  
A3,B3 и C3- середины отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами.
Так как A2C1 = C1A = A1B1 и A1A2||B1C1, точка A2 лежит на описанной окружности треугольника A1B1C1.
 Аналогично точки B2 и C2 лежат на описанной окружности треугольника A1B1C1.