Построить ромб, зная его сторону и отношение диагоналей.

+ 0 -

Wwwmailitlponu1

01 авг. 2013 г., 20:25:48 (10 лет назад)

Это логически очень простая задача. К сожалению, в условии есть маленькая засада.

Сначала надо построить КАКОЙ-ТО ромб с заданным отношением диагоналей q. (засада именно тут*)).

ПРЕДПОЛОЖИМ (см. примечание), что есть два отрезка длины a и b, таких, что b/a = q. (или - то же самое - заданы отрезки длины 1 и q). Тогда на двух перпендикулярных линиях (их легко построить) от точки пересечения в обе стороны надо отложить отрезки a и b, и соединить. 

(В координатном представлении это означает, что берутся четыре точки на осях с координатами (-a, 0), (0, b), (a, 0), (0, -b) и соединяются последовательно.

Еще это можно так сформулировать - надо постороить прямоугольный треугольник с катетами a и b - задача из учебника, четыре таких треугольника, приставленные катетами друг к другу, образуют ромб с отношением диагоналей b/a). 

Получился ромб, подобный нужному.

Теперь от любой вершины надо отложить по обеим сторонам, выходящим из этой вершины, отрезки длины L, и через полученные точки провести прямые параллельно противоложным сторонам ромба до пересечения. (Даже можно не строить параллельные, а провести окружности радиусом L с центрами в этих точках, точка пересечения этих окружностей и будет четвертая вершина ромба).

Получился ромб со стороной L и нужным отношением диагоналей.

*) Примечание.

На самом деле в общем случае это нетривиальная задача - если задан отрезок длины a и какое-то число q, построить отрезок длины  b = aq. К примеру, я понимаю, что когда q - рациональное число, q = m/n, где m и n - целые, то построение такого отрезка делается с помощью теоремы Фаллеса - на двух лучах из одной точки (да хоть на тех же осях) откладываются отрезки равной длины, по одному лучу n раз, по второму m, конечные точки соединяются, по второму лучу откладывается отрезок a и проводится прямая II линии соединения. Она отсекает на втором луче отрезок длины b = am/n.

В принципе (это АБСОЛЮТНО  верное утверждение :)) для любого действительного числа q можно создать предельную процедуру, то есть последовательность рациональных m/n -> q. Проблема в том, что такая процедура требует БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА ПОСТРОЕНИЙ. В некоторых - частных - случаях, например, если q - алгебраическое иррациональное число, построение делается с использованием какого-нибудь геометрического объекта, содержащего нужное отношение. Например, при q = √2, нужный отрезок является диагональю квадрата со стороной a. Но построить уже отрезки, отношение которых равно π - В ПРИНЦИПЕ невозможно ЗА КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ДЕЙСТВИЙ. Это - так называемая "квадратура круга".