Угол между медианой и биссектрисой,проведенной из вершины прямого угла прямоугольного треугольника равен y,а гипотенуза равна с.найти S.

+ 0 -

смисм

25 июня 2013 г., 10:25:08 (10 лет назад)

Пусть ABC - прямоугольный треугольник, Угол ACB -прямой,CE-медиана, СD- биссектриса

Так как CD биссектрисса, то угол ACD = углу DCB=45°

Медиана проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника,равна ее половине, то есть AE=EB=CE=c/2

Треугольник AEC - равнобедренный, угол ACE=45°-y

Из вершины E треугольника на AC опустим высоту EK, тогда

cos(KCE)=KC/CE =>KC=CE*cos(KCE)=(c/2)*cos(45°-y)

AK=KC=AC/2  =>AC=2*(c/2)*cos(45°)=c*cos(45°-y)=

=c*[cos(45°)*cos(y)+sin(45°)*sin(y)]=

=c*(1/sqrt(2))*cos(y)+sin(y)]=(c/sqrt(2))*[cos(y)+sin(y)]

Рассмотрим треугольник (равнобедренный) CEB

Угол ECB=45°+y

Из вершины Е на сторону CB опустим высоту

cos(ECM)=CM/CE => CM=CE*cos(ECM)=(c/2)*cos(45°+y)

CM=MB=CB/2 => CB=2*(c/2)*cos(45°+y)=c*cos(45°+y)=

=c*[cos(45°)*cos(y)-sin(45°)*sin(y))=

=c*(1/sqrt(2)*[cos(y)-sin(y)]

Далее находим площадь

S=AC*CB/2=(1/2)*(c/sqrt(2))*[cos(y)+sin(y)]*(1/sqrt(2)*[cos(y)-sin(y)]=

=(c^2/4)*(cos(y)+sin(y)*(cos(y)-sin(y))=(c^2/4)*[sin^2(x)-cos^2(x)]