Внутри треугольника ABC со сторонами BC=a, AC=b, AB=c выбрана точка M так, что ∠AMB=∠BMC=∠CMA. a=9, b=4, c=6.
1-4 класс
|
Найдите сумму квадратов расстояний от точки M до вершин треугольника. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
Т.к. ∠AMB=∠BMC=∠CMA=360/3=120 , то значит точка М - точка Торричелли (точка треугольника, из которой все стороны видны под углом в 120°).
1) Eсли построить на стороне BC треугольника ABC внешним образом правильный треугольник A1BC, то точка М будет лежать на окружности, описанной около треугольника A1BC (∠BMC=120, ∠BА1C=60), с радиусом R1=BC/√3=9/√3.
Эта же окружность описана и около треугольника МВС, значит можно найти его площадь Smbc=MB*MC*BC/4R1=MB*MC*√3/4.
2) точно так же строим на стороне АС равносторонний треугольник АВ1С, для него R2=AC/√3=4/√3, Smac=MA*MC*AC/4R2=MA*MC*√3/4.
3) aналогично на стороне АВ построим треугольник АС1В, для него
R3=AB/√3=6/√3, Smab=MA*MB*AB/4R3=МА*МВ*√3/4.
4) площадь треугольника АВС находим по ф.Герона
Sabc=√р(р-АВ)(р-ВС)(р-АС)=√9,5*3,5*0,5*5,5=0,25√1463, где полупериметр р=(АВ+ВС+АС)/2=(9+4+6)/2=9,5.
5) Tакже площадь Sabc=Smbc+Smac+Smab, подставим:
0,25√1463=√3/4*(MB*MC+MA*MC+MA*MB), значит
MB*MC+MA*MC+MA*MB=0,25√1463:√3/4=√1463/3.
6) Теперь применим теорему косинусов:
- для треугольника МВС
ВС²=МС²+МВ²-2МС*МВ*соs 120. cos 120=-1/2
81=МС²+МВ²+МС*МВ
Другие вопросы из категории
Читайте также
1) площадь треугольника ABC, 2) сторону AC.
В параллелограмме МРКТ угол Р тупой. На стороне МТ выбрана точка Е так, что угол РЕМ =90 градусов, угол ЕРТ =45 градусов, МЕ=4см, ЕТ=7см. Найдите площадь параллелограмма.
Найдите углы треугольника АВС.
Сравните отрезок АД со сторонами треугольника АВС.
1) на отрезкиAB длинной 23см взята точка С, так что отрезок AC на 7см меньше отрезка CB. Наудите длины отрезкаBC
2) На отрезки AB длинной 56см взята точка K. Найдите длинны отрезка AK и BA. Если AK относяться к BK
3) Лус С проходит между сторонами AB равными 62градумом. Найдите угол AC если угол BC=49градусов.
4) В треугольнике ABC И MNK равны. Известно что AB=17см, а AC=11см. Чему раны соответственные стороны треугольника MNK
5)Треугольник ABC и MNK равны. Известно что угол M=равен 69градусов угол K=28градусов. Чему раны соответстувующие углы треугольника ABC.
6)Найдите смежные углы с углами 39градусов,89градусов,90градусов и 157градусов.